Геометрический смысл производной

Вопрос

Почему значение производной в точке x₀ равно k и равно tg a?

• См. Производная

Сравниваем

• Строим 2 возрастающих графика
  • Вопрос: какая из этих функций быстрее растёт?
• Ответ: первая
  • Её скорость изменения больше
    • Смотрим, насколько быстро y меняется при увеличении x
  • Она более резко идёт вверх ⇒ её производная больше ![[CleanShot 2025-04-23 at 19.40.09@2x.png|400]]

• Берём точку слабого возрастания и берём точку резкого возрастания
  • Очевидно, что скорость изменения функции во 2 случае будет больше
• Проводим 2 касательные к 2 точкам соответственно
• Угол между касательной и осью OX берём за угол, под которым наклонена прямая
  • Альфа и бетта соответсвенно
• Берём координату 1 точки и 2 точки
  • Мы можем сказать, что значение производной в 1 точке меньше, чем значение производной во 2 точке
• $ Вывод: f’(x₁) < f’(x₂) ![[CleanShot 2025-04-23 at 19.48.17@2x.png|400]]
• Строим треугольник ABC
• y вырос на величину стороны BC
• x вырос на величину стороны AC
• Чтобы найти скорость изменения f’(x₂), нам нужно разделить то, насколько вырос y, на то, насколько вырос x (делим BC на AC: это и есть tg угла наклона, то есть k) ![[CleanShot 2025-04-23 at 19.50.55@2x.png|400]]